克鲁斯卡尔算法求最小生成树...请分别按Prim算法和Kruskal算法求最小生成树.

克鲁斯卡尔算法求最小生成树◇...请分别按Prim算法和Kruskal算法求最小生成树.

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克鲁斯卡尔算法求最小生成树...请分别按Prim算法和Kruskal算法求最小生成树.

文本导读：

1. ...请分别按Prim算法和Kruskal算法求最小生成树.
2. 最小生成树实际应用的例子
3. 请构造下图所示网络最小生成树

...请分别按Prim算法和Kruskal算法求最小生成树.

假设N=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网，T=(U,TE)是所求的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是T的边集。

（1）初始U={u0}(u0∈V),TE=φ；

（2）在所有u∈U,v∈V-U的边中选一条代价最小的边（u0，v0）并入集合TE，同时将v0并入U；

此时，TE中必含有n-1条边，则T=（V，{TE}）为N的最小生成树。

假设N=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网，

（2）按权值由小到大的顺序选择边，所选边应满足两个顶点不在同一个顶点集合内，将该边放到生成树边的集合中。同时将该边的两个顶点所在的顶点集合合并；

（3）重复（2），直到所有的顶点都在同一个顶点集合内。

最小生成树实际应用的例子

1、最小生成树实际应用的例子如下：

2、Kruskal算法，过程描述：始终以边为主导地位，先选择权值最小的边，总是选择当前可用最小权值边，并且每次判断两点之间是否已经间接连通，如果已经间接连通，则跳过此边。时间复杂度是O(n*logn)，适用于求边稀疏连通网的最小生成树。

3、Prim算法，过程描述：Prim算法始终以顶点为主导，并且起始点的选择是任意的。从起始点到其他点选择最小权值边，然后以此边两个顶点分别再找最小权值的边，同样已经间接连接的边跳过。时间复杂度是O(n2)，适用于求边稠密连通网的最小生成树。

4、要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

5、最小生成树性质：设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。

6、将集合U中的顶点看作是红色顶点，②而V-U中的顶点看作是蓝色顶点，③连接红点和蓝点的边看作是紫色边，④权最小的紫边称为轻边（即权重最“轻”的边）。于是，MST性质中所述的边（u，v）就可简称为轻边。

7、求MST的一般算法可描述为：针对图G，从空树T开始，往集合T中逐条选择并加入n-1条安全边（u，v），最终生成一棵含n-1条边的MST。

8、Kruskal算法简述：假设WN=(V,{E})是一个含有n个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有n棵树的一个森林。

请构造下图所示网络最小生成树

1、用Kruskal(克鲁斯卡尔)算法,求最小生成树.

2、先将所有边的权值按照从小到大排序:

3、然后,每次提取权值最小边,逐步组成最小生成树:

4、(2)取边(v2,v6,10),不会产生环路.

5、(3)取边(v1,v3,12),不会产生环路.

6、(4)取边(v1,v4,14),不会产生环路.

7、(5)如果取边(v3,v4,16),会产生环路,所以不能取.

8、这就是最小生成树,连通了所有顶点,总权值最小.

9、//最小生成树Kruskal(克鲁斯卡尔)算法

10、}Edge;//对边集数组Edge结构的定义

11、 for(i=0;i<G->numVertexes;i++)//初始化图

12、 for(j=0;j<G->numVertexes;j++)

13、 G->arc[i][j]=G->arc[j][i]=INF;

14、 for(i=0;i<G->numVertexes;i++)

15、 for(j=i;j<G->numVertexes;j++)

16、 G->arc[j][i]=G->arc[i][j];

17、voidSwapn(Edge*edges,inti,intj)

18、 edges[i].begin=edges[j].begin;

19、 edges[i].weight=edges[j].weight;

20、voidsort(Edgeedges[],MGraph*G)

21、 for(i=0;i<(G->numEdges-1);i++)

22、for(j=i+1;j<G->numEdges;j++)

23、if(edges[min].weight>edges[j].weight)

24、 printf("权值排序之后的为:\n");

25、 for(i=0;i<G->numEdges;i++)

26、 printf("(%d,%d)%d\n",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);

27、voidMiniSpanTree_Kruskal(MGraphG)

28、 intparent[MAXVEX];//定义一数组用来判断边与边是否形成环路

29、 Edgeedges[MAXEDGE];//定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型

30、 for(i=0;i<G.numVertexes-1;i++)

31、 for(j=i+1;j<G.numVertexes;j++)

32、 sort(edges,&G);//从小到大排序

33、 for(i=0;i<G.numVertexes;i++)

34、 printf("打印最小生成树：\n");

35、 for(i=0;i<G.numEdges;i++)//循环每一条边

36、 n=Find(parent,edges[i].begin);

37、 if(n!=m)//假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路

38、 parent[n]=m;//将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中

39、//表示此顶点已经在生成树集合中

40、 printf("(%d,%d)%d\n",edges[i].begin,edges[i].end,edges[i].weight);

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