斯托克斯公式例题详解斯托克斯公式

斯托克斯公式例题详解➺斯托克斯公式

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斯托克斯公式例题详解斯托克斯公式

文本导读：

1. 斯托克斯公式
2. 高数斯托克斯公式
3. 斯托克斯公式计算

斯托克斯公式

1、斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。

2、当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。

3、建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。

4、ℝ³ 上的斯托克斯公式

5、设S 是 分片光滑的有向曲面，S 的边界为有向闭曲线Γ ，即，且Γ 的正向与 S 的侧符合右手规则：函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都是定义在“曲面 S连同其边界 Γ”上且都具有一阶连续偏导数的函数，则有

6、这个公式叫做 ℝ³ 上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用散度算符可写成：

7、它将ℝ³ 空间上“向量场的旋度的曲面积分”跟“向量场在曲面边界上的线积分”之间建立联系，这是一般的斯托克斯公式（在 n&#x00三维;2 时）的特例，我们只需用ℝ³ 空间上的度量把向量场看作等价的1形式。该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森（开尔文勋爵）给出，出现在他给斯托克斯的信中。

8、也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。

9、通过以下公式可以在对坐标的“曲线积分”和对面积的“面积积分”之间相互转换：

10、令 M 为一个可定向分段光滑 n 维流形，令 ω 为 M 上的 n−1 阶 C 类紧支撑微分形式。如果 ∂M 表示 M 的边界，并以 M 的方向诱导的方向为边界的方向，则

11、这里 dω 是 ω 的外微分,只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、ℝ³ 上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。

12、该定理经常用于M是嵌入到某个定义了ω的更大的流形中的子流形的情形。

13、定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。

高数斯托克斯公式

先看例：设构件占空间曲面Σ其质量布密度函数(密度布)ρ（x,y,z）求构件质量同于密度均匀物件直接利用ρS（S代表面积,同）处理问题思想类似于布平面区域质量问题需要利用曲面积；dm=ρ（x,y,z）*ds；m=∫ρ（x,y,z）*ds面积曲面积

面积曲面积（第类曲面积）；坐标轴曲面积（第二类曲面积）；面积曲面积坐标轴曲面积转化；两类曲面积区别于形式积元素同第类曲面积积元素面积元素dS,例：积曲面Σ面积曲面积：∫∫f(x,y,z)dS；第二类曲面积积元素坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例：积曲面Σ坐标平面曲面积：∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz；

两种积间转化于何空间曲面坐标平面投影；设dS积曲面Σ面积元素设Σ程z=(x,y)ΣxOy平面投影区域D界闭区域z=(x,y)D具连续偏导数于：dS/(dxdy)=1/cosθθ面积元素dS坐标平面夹角；积曲面Σ任意点向量（〥z/〥x〥z/〥y,-1）(注：〥表示求偏导数〥z/〥x表示zx偏导数整体符号同）,xOy平面向量取（001）；于1/cosθ=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]；所dS=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdyΣ点（x,y,z(x,y)）则∫∫f(x,y,z)dS存且积曲面Σ曲面积：∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z)*√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy面积曲面积坐标轴曲面积关系联系起于∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz种类型曲面积积曲面能需要同向三坐标平面 xOy,xOz,yOz投影,投影式面实际面积元素dS与三坐标平面夹角别αβγ则dxdy=cosαdS;dxdz=cosβdS,dydz=cosγdS;αβγ余弦通向量数量积求所写：∫∫P(x,y,z)dxdy+Q(x,y,z)dydz+R(x,y,z)dxdz=∫∫[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosγ+R(x,y,z)cosβ]dS向各坐标平面投影候需要注意dS向性即夹角夹角于π/2候其余弦值负

3.格林公式给沿着闭曲线C曲线积与C所包围区域D二重积间关系

般斯托克斯公式（generalized Stokes' formula）认微积基本定理、格林公式、高－奥公式、?3?斯托克斯公式推广；者实际前者简单推论

斯托克斯公式计算

1、斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系在

2、考研数学中，曲线积分和曲面积分是数学（一）的重要考点之一，每年必考。为了使大家掌握好曲线的参数方程计算，利用斯托克斯公式，格林公式空间曲线积分的问题，下面作一些分析总结，供各位考生参考。

3、在考研数学中，曲线积分和曲面积分是数学（一）的重要考点之一，每年必考，并且时常考一道大题（10分以上）和一道小题（4分），因此，考数学（一）的同学一定要掌握好基本计算方法和技巧。与曲面积分相比，曲线积分考试的频率更高。曲线积分的计算方法有三种，包括：利用曲线的参数方程计算、利用格林公式计算、利用斯托克斯公式计算，其中关于利用斯托克斯公式计算空间曲线积分的问题常常令很多同学感到困惑，为了使大家掌握好这种方法，下面对这种方法作一些分析总结，供各位考生参考。

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